Enunciado

Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Use o gráfico para fazer uma estimativa aproximada da soma da série. Em seguida, use o Teorema de Estimativa de Séries Alternadas para estimar a soma correta para quatro casas decimais.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 8 n  

Passo 1

Precisamos começar esboçando os gráficos. Para isto, será necessário utilizarmos softwares. A partir do momento que obtivermos o gráfico, se o valor do somatório tender a uma reta horizontal, isto é, valor constante, verifica-se visualmente que a série é convergente.

Se queremos estimar a soma da série com quatro casa decimais, precisamos que o erro envolvido seja de 5 casas decimais. Para isto, precisamos determinar o valor de n tal que:

R n = s - s n ≤ b n + 1 < 0,0001

Passo 2

Vejamos inicialmente o gráfico contendo tanto a sequência de termos quanto as somas parciais.

Como o valor de s n fica constante, podemos pegar o valor da coordenada y de algum desses pontos, e assim obter que s n ≅ - 0 , 111111 .

Passo 3

Para avaliarmos o Teste de Estimativa de Soma, vamos começar escrevendo os primeiros termos deste somatório. Portanto, a soma será

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 8 n = 1 8 - 2 64 + 3 512 - 4 4096 + 5 32768 - 6 262144 + 7 2097152 + …

Como,

b 6 = - 6 26214 = 0,0000 37 < 0,0001

E

s 5 ≈ 0,1111

Isto é, como o erro é menor que 0,001, ele não afeta a quarta casa decimal da nossa soma. Portanto,

s = 0,1111

Resposta

Pelo gráfico, estimamos que s n ≅ - 0,111111 .

Já a partir do teste de estimativa, temos s = 0,1111

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Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 8 n
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 5
Mostre que a série e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada: ∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n . n ! e e r r o ≤ 0,000005
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n