Enunciado

Uma família de curvas é dada pelas equações

r = 1 + c sen ⁡ n θ

Onde c é um número real e n é um número inteiro positivo. Como o gráfico muda quando n aumenta? Como ele muda quando c varia? Ilustre traçando com uma ferramenta gráfica membros suficientes da família para justificar suas conclusões.

Passo 1

Como temos duas variáveis para controlar, vamos fixar uma enquanto a gente mexe na outra pra gente investigar o comportamento de uma de cada vez, beleza?

Primeiro vamos fixar c = 1 e fazer n variar.

r = 1 + sen ⁡ n θ

- n = 1 :

A curva parece que tá querendo dar um looping mas não deu ainda... vamos aumentar o n .

- n = 2 :

Opa, o que aconteceu foi que a curva se fechou alí no meio, dando um looping e meio que formando duas “pétalas”.

- n = 3 :

Mais um looping, mais uma “pétala”.

- n = 4 :

Outro looping, outra “pétala”. Agora parece uma florizinha!! Rsrs

Então quer dizer, parece que quando maior o valor de n , mais loopings nossa curva dá.

Passo 2

Agora vamos investigar a influência do c .

Para isso, vamos fixar n = 3 , por exemplo.

r = 1 + c sen ⁡ 3 θ

Para c = 1 , já sabemos a cara que a curva tem, pois já desenhamos aí em cima.

Agora vamos testar outros valores de c , que é um número real e, portanto, pode ser negativo também.

- c = - 4 :

O que aconteceu foi que agora temos duas “flores” de três “pétalas” toda a curva aumentou de tamanho (repare que a escala desse gráfico é menor que quando c = 1 ).

- c = - 1,5

De novo, temos duas “flores” e nossa curva diminuiu de tamanho (essa escala é maior que a anterior), inclusive, o looping de dentro diminui mais que o de fora.

- c = - 1 :

O mesmo comportamento continuou sendo observado: a curva como um todo diminuiu de tamanho e o looping de dentro diminuiu mais que o de fora, tanto que chegou a desaparecer.

Ou seja, para c < - 1 o comportamento da curva é esse de ela ir diminuindo a medida que c aumenta, sendo que o looping de dentro diminui mais que o de fora.

Passo 3

Agora vamos ver o que acontece para outros valores de c .

- c = - 0,5 :

A curva passou a ser uma curva fechada, sem looping. E repare que ela ainda está diminuindo de tamanho.

- c = 0 :

A curva também é fechada e é simplesmente uma circunferência de r = 1 .

- c = 0.5 :

Curva fechada.

- c = 1 :

A curva fechou de novo e voltou a fazer loopings.

- c = 3 :

Ou seja, para c > 1 observamos o mesmo comportamento que para c < - 1 , só que no sentido contrário. Se antes ela diminuía, agora, ela aumenta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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