Enunciado

Uma firma de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm³ de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa e para o fundo da caixa, determinar as dimensões da caixa que minimizam o custo.

Passo 1

Beleza galera, vamos olhar esta caixa mais de perto:

A tampa e o fundo possuem área igual a ab, enquanto a lateral é ac e bc.

Neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor mínimo para o custo, mas sabendo que o volume deve ser igual a 64 cm³.

Então neste caso a condição será:

s . a .                   a b c =   64

Agora precisamos montar a função a ser minimizada, ok? Supondo que o valor do material da tampa e do fundo é x , então o valor do material das laterais será x 2 .

Agora podemos laçar a função do custo total:

C = x a b + a b + x 2 ( a c + a c + b c + b c )

Reorganizando:

C = 2 x a b + x 2 ( 2 a c + 2 b c )

C = 2 x a b + x a c + x b c

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

min ⁡                                 2 x a b + x a c + x b c

s . a .                             a b c =   64

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = 2 x a b + x a c + x b c - λ ( a b c -   64 )

Derivando L em relação às variáveis a, b e c e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ a = 2 x b + x c - λ b c = 0

∂ L ∂ b = 2 x a + x c - λ a c = 0

∂ L ∂ c = x a + x b - λ a b = 0

∂ L ∂ x = 2 a b + a c + b c

∂ L ∂ λ = - ( a b c -   64 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

a = b

Multiplicando a terceira equação por 2 e igualando com a segunda, achamos:

2 b = c

Colocando na última equação:

a b c -   64 = 0

2 a 3 = 64

a = 32 3

Achando y e z:

x = y = 32 3

z = 2 32 3

Sendo assim, nós temos o ponto 32 3 ,   32 3 ,   2 32 3 .

Gostaram?

Resposta

32 3 ,   32 3 ,   2 32 3 .

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