Enunciado

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

10) g ( r ) = ∫ 0 r x ² + 4 . d x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:

g r = ∫ 0 r x 2 + 4 . d x

E o enunciado pede pra calcular g ' ( r ) usando a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo! Vamos dar uma relembrada:

Ele diz que se f for contínua no intervalo fechado [ a , b ] então podemos definir a função:

g x = ∫ a x f t   a ≤ x ≤ b

Onde g é contínua em [ a . b ] e derivável em ( a , b ) . Além disso g ' x = f ( x ) .

Passo 2

Beleza! A função f ( x ) é dada por:

f x = x ² + 4

O intervalo é [ 0 , r ] , como r é o limite superior da integral podemos deduzir que r ≥ 0 . Pra nossa função f ( x ) não ser contínua deveríamos ter:

x 2 + 4 < 0

Afinal não existe raiz negativa nos números reais! Mas pelo limite de integração o x vai ser sempre positivo, então podemos ficar tranquilos! A nossa função é contínua no intervalo [ 0 , r ] .

Passo 3

Sabendo disso, podemos escrever>

f r = r ² + 4

podemos assumir pela parte 1 do teorema fundamental do cálculo, que:

g ' r = f ( r )

Sendo assim:

g ' r = r ² + 4

Resposta

g ' r = r ² + 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que uma região R do plano seja decomposta em duas regiões, R 1 e R 2 , cujas áreas sejam A 1 e A 2 , respectivamente, e cujos centroides sejam e ( x - 1 , y - 1 ) e ( x - 2 , y - 2 ) respectiv
Use o Teorema de Pappus e o resultado do Exercício 39 para calcular o volume do sólido gerado quando a região limitada pelo eixo x e o semicírculo y = a 2 - x 2 gira em torno da (b) reta y=x-a
Use o Teorema de Pappus e o resultado do Exercício 39 para calcular o volume do sólido gerado quando a região limitada pelo eixo x e o semicírculo gira em torno da (a) reta y=-a
Como podemos reconhecer se um problema pode ser resolvido utilizando o Teorema de Pappus? Ou seja, quais são as “pistas” e as “incógnitas” que poderiam sugerir uma tal solução? Discuta dois ou três ex
Use o Teorema de Pappus e o fato de que a área de uma elipse com semieixos a e b é π a b para calcular o volume do toro elíptico gerado pela revolução da elipse x - k 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 em torno do e