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A função f é crescente no intervalo I . Prove que a se g x = - f x , então g x será decrescente em I ; b se h x = 1 f x e f x > 0 em I , então h será decrescente em I .

Passo 1

Vamos começar olhando a informação que ele deu. Que f é crescente. Isso nos diz que:

f ' x > 0 ,   x ∈ I

Beleza, vamos olhar a g x , para analisar seu crescimento, devemos achar sua derivada:

g x = - f x

g ' x = - f ' x

Como f ' x > 0 , vamos ter:

g ' x < 0 , x ∈ I

Isso nos diz que g é decrescente nesse mesmo intervalo I

Passo 2

Vamos olhar a h x

h x = 1 f x

Vamos fazer a derivada pela regra do quociente:

h ' x = 1 ' f x - f ' x f x 2

h ' x = - f ' x f x 2

Ele disse que f x > 0 , então o denominador é sempre positivo. Além disso, o numerador também vai ser, porque ele disse que f é crescente, e portanto f ' x > 0 .

Isso nos diz que:

f ' x f x 2 > 0

E aquele torna h ' x negativa no intervalo. Terminamos com:

h ' x < 0 , x ∈ I

Dessa forma e sempre decrescente no intervalo

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