Enunciado

A função rendimento marginal para uma certa mercadoria é dada por R ' x = a b ( x + b ) - 2 - c . Ache (a) a função rendimento total e (b) uma quação envolvendo p e x (a equação de demanda), onde x unidade são demandadas quando p unidades monetárias for o preço unitário.

Passo 1

O rendimento marginal é a primeira derivada da função rendimento total R. Assim, C pode ser obtido de R’ por antidiferenciação. Assim que determinarmos a função rendimento total, a constante que sempre aparece no final pode ser calculada se conhecermos o custo da produção de um número específico de unidades da mercadoria. Como o enunciado não menciona nada a respeito disso, podemos partir da verdade que a função rendimento total é zero quando o número de unidades produzidas é zero!

R 0 = 0

Agora vamos montar a função rendimento total.

R x = ∫ R ' x d x R x = ∫ a b ( x + b ) - 2 - c d x

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

R x = ∫ a b ( x + b ) - 2 - c d x R x = ∫ - c d x + ∫ a b x + b - 2 d x R x = - c x + a b ( x + b ) - 1 - 1 + K R x = - c x - a b ( x + b ) - 1 + K R x = - c x - a b x + b + K

Passo 3

Uma vez obtida a função de rendimento total, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

R 0 = 0 R 0 = - c * 0 - a b 0 + b + K = 0 - a b b + K = 0 - a + K = 0 K = a

Passo 4

O enunciado pede uma equação envolvendo o preco unitário p e a quantidade de mercadoria x. Sabemos que o rendimento é dado por R x = p x . Assim, façamos essa igualdade.

R x = p x = - c x - a b x + b + a Fazendo o MMC do lado direito da igualdade, temos que o denominador passa a ser x + 5 .

p x = - c x x + b - a b + a x + b x + b p x x + b = - c x 2 - c b x - a b + a x + a b p x x + 5 = - c x 2 + a x - c b x p x + 5 = - c x 2 + a x - c b x x p x + 5 = - c x + a - c b

Resposta

O resultado final é:

R x = - c x - a b x + b + a

p x + 5 = - c x + a - c b

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