Enunciado

Identificar as afirmações verdadeiras:

b) A união de bolas abertas é um conjunto aberto.

Passo 1

Vamos começar vendo qual é a definição de bola aberta. Ela é uma figura que tem por equação:

x - x c 2 + y - y c 2 < r

Ou seja, é a parte interna de uma circunferência, sem contar a borda dela (inclusive por isso ela é um conjunto aberto). Enquanto isso, um conjunto aberto é um conjunto que, além de não ter a borda marcadinha, ele não tem nenhum ponto isolado, fica todo mundo juntinho ali numa região bem definida.

Passo 2

Então o que a gente tem que analisar é se, juntando duas bolas abertas, a gente forma um conjunto aberto. Vamos tentar resolver graficamente?

Se a gente pegar duas bolas abertas, de forma que uma esteja contida na outra, o conjunto da união delas pode ser representado só pela bola de fora, então nesse caso a união é sim um conjunto aberto, já que tá todo mundo ali naquela região bonitinha.

Se a gente considerar duas bolas, de forma que uma não esteja totalmente contida na outra, a coisa muda: agora, o conjunto união delas deixou de ter até mesmo o formato de uma circunferência, então deixou de ser uma bola aberta. Mas isso não impede que seja um conjunto aberto! Como a gente pode ver, ao juntar as duas, continuamos sem ter uma bordinha no conjunto, e todos os pontos estão contidos nessa região das duas circunferências. Por isso, o conjunto é aberto.

Como é sempre aberto, essa é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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6. Seja f x , y = 10 - x - y 2 a) Represente o domínio de f no plano x y e determine a imagem de f .
5-Considere a superfície z = f ( x ,y ) , onde: f x ,y = 8 - x 2 - y 2 , x 2 + y 2 ≤ 4 4 , x 2 + y 2 ≥ 4 Pede-se:a)As interseções da superfície com os planos z = 8 ,z = 6 ,z = 0 ,x = 0 e y = 0 .
8. Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções:b) f x , y = y - 1 - x 2
8. Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções:c) f x , y = 2 y - x 2 - y 2
8. Esboce o mapa de contorno e o gráfico das seguintes funções:a) f x , y = x + y 2