Enunciado

Usando coordenadas polares, calcular:

c) int_(- 1)^1 int_0^(sqrt(1 - x^2)) y d y d x

Passo 1

Temos que:

0 <= y <= sqrt(1 - x^2)

- 1 <= x <= 1

A representação da região de integração é dada:

Desse modo, temos que:

0 <= r <= 1

0 <= theta <= pi

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_0^(pi) int_0^1 r s e n theta * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^1 r^2 s e n theta d r = (r^3)/(3) s e n theta

Aplicando os limites:

((1)/(3) - (0)/(3)) s e n theta = (s e n theta)/(3)

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(pi) (s e n theta)/(3) d theta = - (cos theta)/(3)

Aplicando os limites:

(- 1 - 1) * (- (1)/(3)) = (2)/(3)

Resposta

(2)/(3)

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