Usando coordenadas polares, calcular:

c)   ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 y d y d x

Passo 1

Temos que:

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

- 1 ≤ x ≤ 1

A representação da região de integração é dada:

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ 0 π ∫ 0 1 r   s e n   θ ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 1 r 2 s e n   θ d r = r 3 3 s e n   θ

Aplicando os limites:

1 3 - 0 3 s e n   θ = s e n   θ 3

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π s e n   θ 3 d θ = - cos ⁡ θ 3

Aplicando os limites:

- 1 - 1 ⋅ - 1 3   = 2 3

Resposta

2 3

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