Enunciado

Calcule as integrais em coordenadas esféricas:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ∫ sec ⁡ ϕ 2 3 ρ 2   s e n ϕ   d ρ d ϕ d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

As técnicas utilizadas para resolver esse tipo de problema costuma ser de tipo relações trigonométricas, então é bom termos esse conhecimento para que possamos resolver o mais rápido e de forma correta.

Dito isso... Vem comigo!

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 s e n ϕ ρ 3 sec ⁡ ϕ 2 d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ( s e n ϕ 2 3 - sec 3 ⁡ ϕ   d ϕ d θ

∫ 0 2 π 2 3 ∫ 0 π 3 s e n ϕ d ϕ - ∫ 0 π 3 s e n ϕ sec 3 ⁡ ϕ d ϕ d θ

∫ 0 2 π 2 3 ∫ 0 π 3 s e n ϕ d ϕ - ∫ 0 π 3 t g ( ϕ ) sec 2 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Vamos resolver a parte da integral de d ϕ para ambos os termos isoladamente

Passo 3

Vamos resolver a parte da integral de d ϕ para ambos os termos isoladamente

Para o primeiro:

2 3 ∫ 0 2 π s e n ϕ d ϕ

2 3 - cos ⁡ ϕ 0 π 3

2 3 - 1 2 + 1 = 2 2

Para o segundo:

- ∫ 0 π 3 t g ϕ sec 2 ⁡ ϕ d ϕ

Façamos u = t g ϕ logo d u = sec 2 ⁡ ϕ d ϕ e quando ϕ = 0 ,   u = 0     e para ϕ = π 3 ,   u = 3 . Assim:

- ∫ 0 3 u   d u

- 1 2 u 2 0 3

- 3 2

∫ 0 2 π 4 - 3 2 d θ

5 2 ∫ 0 2 π d θ

5 2 θ 0 2 π

5 π

Resposta

5 π

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