Enunciado

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ D x   d A  

Onde D é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: D é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 . Para esse caso fica mais fácil utilizarmos as coordenadas polares, assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo

∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ r   d r   d θ  

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 0 π 2 ∫ 1 2 r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ r   d r   d θ

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ 1 2 r 2 ⋅ cos ⁡ θ   d x   = r 3 3 ⋅ cos ⁡ θ 1 2 = 2 3 3 - 1 3 ⋅ cos ⁡ θ

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 π 2 2 3 3 - 1 3 ⋅ cos ⁡ θ   d y = 2 3 3 - 1 3 ⋅ s in ⁡ θ 0 π 2 = 2 3 3 - 1 3

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

2 3 3 - 1 3

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