Enunciado

Uma pista de atletismo de comprimento total de 400   m consiste de 2 semicírculos e dois segmentos retos, conforme figura a seguir. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que a área retangular, demarcada na figura, seja máxima.

Passo 1

Inicialmente ele nos disse que a o comprimento total da pista é de 400   m . Assim, temos o seguinte:

π r + a + π r + a = 400

Logo,

π r + a = 200       i

Isolando r :

r = 200 - a π       ( i i )

Beleza, mas ele quer saber sobre a área retangular máxima. Se olharmos apenas para o retângulo, temos o seguinte:

A = 2 r × 2 a

Substituindo i i na expressão da área:

A = 4 200 - a π a

Fazendo as contas:

A a = 4 π 200 a - a 2

Passo 2

Agora que já conseguimos expressar a área em função de apenas um parâmetro, vamos partir para maximizar essa área. Repare que A a é uma equação do segundo grau com coeficiente líder (o que acompanha a 2 )   negativo. Assim, teremos uma curva com concavidade para cima. Então basta derivarmos e igualarmos a zero que já acharemos o ponto de máximo.

A a = 4 π 200 a - a 2

Derivando,

A ' a = 4 π 200 - 2 a

Igualando a zero:

4 π 200 - 2 a = 0

Portanto,

200 - 2 a = 0 → a = 100   m

Passo 3

Voltando na equação i :

r = 200 - a π

Como a = 100   m :

r = 100 π   m

Dessa forma, vemos que as dimensões da pista serão:

a = 100   m e r = 100 π   m

Resposta

a = 100   m

r = 100 π   m

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