Enunciado

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Uma lâmina com densidade constante ρ x ,   y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - .

A região sob a curva y = s e n   x de x = 0 a x = π

Passo 1

Galera, pra encontrar os momentos de inércia, vamos montar suas respectivas integrais, e então usar um sistema de computação algébrica pra calcular pra gente essas integrais, beleza?

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x ρ y 2   d y   d x = 4 ρ 9

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x ρ x 2   d y   d x = ρ ( π 2 - 4 )

Passo 2

Pra encontrar os raios de giração, precisamos saber a massa da lâmina:

m = ∬ D   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π ∫ 0 s e n   x ρ   d y   d x = 2 ρ

Agora sim podemos determinar os raios de giração:

x - - = I y m = ρ ( π 2 - 4 ) 2 ρ = π 2 - 4 2

y - - = I x m = 4 ρ 9 2 ρ = 2 9 = 2 3

Resposta

I x = 4 ρ 9

I y = ρ ( π 2 - 4 )

x - - = π 2 - 4 2

y - - = 2 3

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