Enunciado

Uma lâmina ocupa a parte do disco x 2 + y 2 ≤ 1 no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x .

Passo 1

Galera, o exercício nos diz que a lâmina ocupa somente o primeiro quadrante do disco, então teremos 0 ≤ r ≤ 1   ,   0 ≤ θ ≤ π 2 . Além disso, a densidade é proporcional à distância ao eixo x , ou seja, ρ x ,   y = c y ou ρ r ,   θ = c   r   s e n   θ .

Podemos calcular a massa então:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 c   r   s e n   θ   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 2 s e n   θ d θ ∫ 0 1 c   r 2 d r = - cos ⁡ θ 0 π / 2 c r 3 3 0 1 = 0 + 1 c 3 1 - 0 = c 3  

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 r cos ⁡ θ ( c   r   s e n   θ )   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 2 s e n   θ cos ⁡ θ d θ ∫ 0 1 c   r 3 d r = s e n 2 θ 2 0 π / 2 c r 4 4 0 1 = 1 2 1 - 0 c 4 1 - 0 = c 8

x - = M y m = c 8 c 3 = 3 8

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ( r   s e n   θ ) ( c   r   s e n   θ )   r   d r   d θ = ∫ 0 π / 2 s e n 2 θ d θ ∫ 0 1 c   r 3 d r = 1 2 θ - s e n 2 θ 2 0 π / 2 c r 4 4 0 1 = 1 2   .   π 2   .   c 4 1 - 0 = c π 16

y - = M x m = c π 16 c 3 = 3 π 16

Então,

x ,   - y - = 3 8 , 3 π 16

Resposta

x ,   - y - = 3 8 , 3 π 16

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