Enunciado

Uma lata de sopa com forma de cilindro circular reto, raio r e altura h deve ter um volume V . A tampa e a base são cortadas de quadrados, conforme a Figura Ex-32 a seguir. Se os cantos sombreados forem os únicos refugos, encontre a razão r h para a lata que requer menos material (incluindo o refugo).

Passo 1

Então galera, a geometria do nosso problema é a seguinte: temos um cilindro circular reto no qual o topo e a base desse cilindro, ao invés de serem tampas circulares, são tampas quadradas. A área dessa lata de sopa é a somatória da área do cilindro e das áreas das tampas, ou seja:

A t o t a l = A t a m p a 1 + A t a m p a 2 + A c i l i n d r o

Como a tampa 1 é a mesma coisa que a tampa 2 :

A t o t a l = 2 r 2 + 2 r 2 + 2 π r h

A = 8 r 2 + 2 π r h

Ademais, o volume dessa lata de sopa é dado por:

V = π r 2 h

Que é o produto entre a área da base e a altura do cilindro. Isolando h , teremos:

h = V π r 2

Substituindo na expressão da área:

A = 8 r 2 + 2 π r V π r 2

A = 8 r 2 + 2 V r

Passo 2

Como estamos procurando dimensões mínimas na fabricação da lata, então temos que utilizar a noção de máximos e mínimos, conforme aprendemos no cálculo! Derivando nossa expressão, teremos:

d A d r = 16 r - 2 V r 2

Igualando a zero:

16 r - 2 V r 2 = 0

16 r = 2 V r 2

r 3 = V 8

∴ r = V 3 2

Ok, encontramos um ponto crítico, mas como fazemos para provar que é, de fato, um r mínimo? Vamos utilizar o conceito da derivada segunda, se liga:

d 2 A d r 2 = 16 + 4 V r 3 > 0

Note que como r é sempre positivo, então essa derivada segunda sempre será positiva, ou seja, a concavidade da função é para cima, o que indica um ponto de mínimo no r que encontramos!

Passo 3

Como queremos encontrar a razão r h , basta substituirmos o que encontramos, se liga:

r h = r V π r 2

r h = π r 3 V

Como r = V 3 2 , então:

r h = π 8 . V V = π 8

E essa é a razão necessária para a lata que requer menos material! 😊

Resposta

r h = π 8

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