Responde Aí

Enunciado

Em 7 de maio de 1992 o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS- 49 , cujo propósito era instalar uma peça nova em um satélite de comunicação do INTELSAT. A tabela dá os dados da velocidade para o ônibus entre o lançamento e a entrada em ação dos foguetes auxiliares.

  1. Use uma calculadora gráfica ou computador para modelar esses dados por um polinômio de terceiro grau.
  2. Use o modelo da parte (a) para estimar a altura atingida pela Endeavour 125 segundos depois do lançamento.

Passo 1

  1. Usando uma calculadora gráfica obtemos a equação do gráfico da figura:
  2. v t = 0,00146 t 3 - 0,11553 t 2 + 24,98169 t - 21,26872

    Passo 2

  3. Para estimar a altura atingida pela Endeavour 125 segundos depois do lançamento utilizamos o Teorema da Variação Total:

∫ 0 125 v t d t = h 125 - h 0

Vamos então calcular a integral:

∫ 0 125 v t d t = ∫ 0 125 0,00146 t 3 - 0,11553 t 2 + 24,98169 t - 21,26872   d t = ∫ 0 125 0,00146 t 3 d t + ∫ 0 125 - 0,11553 t 2   d t + ∫ 0 125 24,98169 t   d t + ∫ 0 125 - 21,26872   d t

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 0,00146 t 3 - 0,11553 t 2 + 24,98169 t - 21,26872   d t = ∫ 0,00146 t 3 d t + ∫ - 0,11553 t 2   d t + ∫ 24,98169 t   d t + ∫ - 21,26872   d t

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ k d x = k x + C

Passo 3

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ 0,00146 t 3 d t = 0,00146 ∫ t 3   d t = 0,00146 ∙ t 3 + 1 3 + 1 = 0,00146 ∙ t 4 4 = 0,000365 t 4 + C

∫ - 0,11553 t 2   d t = - 0,11553 ∫ t 2 d t = - 0,11553 ∙ t 2 + 1 2 + 1 = - 0,11553 ∙ t 3 3 = - 0,03851 t 3 + C

∫ 24,98169 t   d t = 24,98169 ∫ t   d t = 24,98169 ∙ t 1 + 1 1 + 1 = 24,98169 ∙ t 2 2 = 12,490845 t 2 + C

∫ - 21,26872   d t = - 21,26872 t + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 125 0,00146 t 3 d t + ∫ 0 125 - 0,11553 t 2   d t + ∫ 0 125 24,98169 t   d t + ∫ 0 125 - 21,26872   d t = 0,000365 t 4 0 125 + - 0,03851 t 3 0 125 + 12,490845 t 2 0 125 + - 21,26872 t 0 125 ≈ 206,407

Pronto, a estimativa da altura atingida pela Endeavour 125 segundos depois do lançamento é de 206,407 metros.

Resposta

  1. v t = 0,00146 t 3 - 0,11553 t 2 + 24,98169 t - 21,26872
  2. A estimativa da altura atingida pela Endeavour 125 segundos depois do lançamento é de 206,407 metros.

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