Enunciado

Massa: encontre a massa do sólido delimitado pelas superfícies parabólicas z = 16 - 2 x 2 - 2 y 2 e z = 2 x 2 + 2 y 2 , se a densidade do sólido for δ x , y , z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos pelo enunciado que:

x ∈ - 2 ,   2

y ∈ - 4 - x 2 ,   4 - x 2

z ∈ 2 x 2 + y 2 ,   16 - 2 x 2 + y 2

Sendo assim:

M = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ 2 x 2 + y 2 16 - 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2     d z   d y   d x

Vem junto comigo que essa parece que vai ser difícil (SERÁ??)

Passo 2

M = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ 2 x 2 + y 2 16 - 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2     d z   d y   d x

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 x 2 + y 2 z 2 x 2 + y 2 16 - 2 x 2 + y 2 d y   d x

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 x 2 + y 2 4 4 - x 2 - y 2   d y   d x

Há uma conta enoooorme nesse intervalo, que será feita quando dividirmos a integral da soma pela soma das integrais. Para economizar espaço e chegarmos no resultado que queremos:

Vamos passar para coordenadas polares:

Onde vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 2

E sabemos das coordenas polares que r 2 = x 2 + y 2 assim:

E como vamos fazer uma troca de coordenadas, usemos o Jacobiano dessas novas coordenadas, sendo das polares o r

4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 4 - r 2 r   d r   d θ

Passo 3

4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 4 - r 2 d r   d θ

4 ∫ 0 2 π 4 3 r 3 0 2 - 1 5 r 5 0 2 d θ

4 ∫ 0 2 π 2 6 15 d θ

2 8 15 θ 0 2 π

M = 2 9 π 15

Resposta

M = 2 9 π 15

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