Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u t t = a 2 u x x .

(a) u = sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

Passo 1

Show de bola, galera! Não tem mistério....Se repararmos bem a nossa equação diferencial parcial, precisaremos calcular somente u t t e u x x , e verificar se a equação é satisfeita. Simples assim.

Partiu fazer essas contas?

Passo 2

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t sen ⁡ k x sen ⁡ a k t = a k sen ⁡ k x cos ⁡ a k t

u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t a k sen ⁡ k x cos ⁡ a k t = - a 2 k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ k x sen ⁡ a k t = k cos ⁡ k x sen ⁡ a k t

u x x = ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x k cos ⁡ k x sen ⁡ a k t = - k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t

Passo 3

Jogando na equação:

u t t = a 2 u x x ⇒     ?     - a 2 k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t = a 2 - k 2 sen ⁡ k x sen ⁡ a k t ⏟ O K  

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que a função z = ln ⁡ e x + e y é uma solução das equações diferenciais ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 1 e ∂ 2 z ∂ x 2 ∙ ∂ 2 z ∂ y 2 - ∂ 2 z ∂ x ∂ y 2 = 0 ⏟ * * * *** Em algumas edi...
A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K = 1 2 m v 2 . Mostre que ∂ K ∂ m ∂ 2 K ∂ v 2 = K
Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função u x , t = f x + a t + g x - a t é solução da equação de onda dada no exercício 74.
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t...