Enunciado

Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Passo 1

Bom, pessoal. Primeiro, vamos fazer um esboço do que seria uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d , beleza?

Agora, como provar que essa cônica tem a seguinte equação?

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Passo 2

Galera, vamos lembrar de como definimos uma cônica: a razão entre a distância P F de um ponto qualquer da cônica ao foco e a distância | P l | entre esse ponto e a reta diretriz deve ser igual à excentricidade:

P F | P l | = e

Digamos que o ponto P tem coordenadas polares r ,   θ e retangulares x ,   y .

Como mostra a figura, o foco está na origem, então P F = r .

Olhando novamente pra figura, vemos que P l = d - | y |

Como y é negativo:

P l = d - - y = d + y = d + r   s e n   θ

Passo 3

Agora que já temos P F e P l em coordenadas polares, jogamos esses valores na equação:

P F | P l | = e

r d + r sen ⁡ θ = e

r = e d + r e sen ⁡ θ

r ( 1 - e sen ⁡ θ ) = e d

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Chegamos onde queríamos, beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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