Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Passo 1

Bom, pessoal. Primeiro, vamos fazer um esboço do que seria uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d , beleza?

Agora, como provar que essa cônica tem a seguinte equação?

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Passo 2

Galera, vamos lembrar de como definimos uma cônica: a razão entre a distância P F de um ponto qualquer da cônica ao foco e a distância | P l | entre esse ponto e a reta diretriz deve ser igual à excentricidade:

P F | P l | = e

Digamos que o ponto P tem coordenadas polares r ,   θ e retangulares x ,   y .

Como mostra a figura, o foco está na origem, então P F = r .

Olhando novamente pra figura, vemos que P l = d - | y |

Como y é negativo:

P l = d - - y = d + y = d + r   s e n   θ

Passo 3

Agora que já temos P F e P l em coordenadas polares, jogamos esses valores na equação:

P F | P l | = e

r d + r sen ⁡ θ = e

r = e d + r e sen ⁡ θ

r ( 1 - e sen ⁡ θ ) = e d

r = e d 1 - e sen ⁡ θ

Chegamos onde queríamos, beleza?

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 1 - 2   s e n   θ e trace a cônica e sua diretriz.(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um...
r = 3 4 - 8 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica
Trace as cônicas r = e 1 - e cos ⁡ θ com e = 0,4   ,   0,6   ,   0,8   e 1,0 na mesma tela. Como o valor de e afeta o formato da curva?
Use uma calculadora gráfica ou um computador para reproduzir a figura.
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.4. x = e - t + t ,         y = e t -...
Esboce a curva com a equação dada. r = sen ⁡ θ
A figura mostra o gráfico de r como uma função de θ em coordenadas cartesianas. Use-o para esboçar a curva polar correspondente.
Use os gráficos de x = f ( t ) y = g ( t ) Para esboçar a curva paramétrica x = f ( t ) y = g ( t ) Indique com setas a direção na qual a curva é traçada à medida que t aumenta.
Use os gráficos de x = f ( t ) y = g ( t ) Para esboçar a curva paramétrica x = f ( t ) y = g ( t ) Indique com setas a direção na qual a curva é traçada à medida que t aumenta.
Esboce a curva com a equação dada. r = - 3 cos ⁡ θ