Enunciado

Mostre que as equações paramétricas

x = x 1 + x 2 - x 1 t

y = y 1 + y 2 - y 1 t

Onde 0 ≤ t ≤ 1 descrevem o segmento de reta que une os pontos P 1 ( x 1 , y 1 ) e P 2 ( x 2 , y 2 ) .

E encontre as equações paramétricas para representar o segmento de reta de ( - 2,7 ) até ( 3 , - 1 ) .

Passo 1

Imagina que a gente tenha dois pontos no espaço, P 1 e P 2 .

Para encontrar um vetor que está na direção desses pontos, basta que a gente faça as coordenadas de um menos as coordenadas do outro, certo? Assim

P 2 P 1 → = P 2 - P 1 = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 )

Então esse é um vetor que está na direção do nosso segmento de reta que passa por esses dois pontos.

Passo 2

Como a equação paramétrica da reta é dada por

x = x 0 + x ' t

y = y 0 + y ' t

Onde P 0 = ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas de um ponto por onde nossa reta passa e ( x ' , y ' ) são as coordenadas do vetor diretor da nossa reta, isso significa que para parametrizar uma reta precisamos de duas coisas: um ponto que pertença a reta e um vetor na direção da reta.

Oras, no caso do segmento de reta já temos essas duas coisas.

A partir dos dois pontos que o nosso segmento passa nós conseguimos definir o vetor diretor, como fizemos no passo 1, e de quebra, já temos um ponto por onde a reta passa (temos dois no caso, podemos até escolher.

Dessa forma, se escolhermos o ponto P 1 = ( x 1 , y 1 ) para ser nosso " P 0 " , podmos dizer que as equações paramétricas do segmento de reta são dadas por

x = x 1 + x 2 - x 1 t

y = y 1 + y 2 - y 1 t

Passo 3

Dito isso, as equações paramétricas do segmento que passa de ( - 2,7 ) até ( 3 , - 1 ) é

x = - 2 + 3 + 2 t

y = 7 + - 1 - 7 t

Ou seja,

x = - 2 + 5 t

y = 7 - 8 t

0 ≤ t ≤ 1

Resposta

x = - 2 + 5 t

y = 7 - 8 t

0 ≤ t ≤ 1

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