Enunciado

Use os métodos desta seção para esboçar a curva y = x 3 - 3 a 2 x + 2 a 3 , onde a é uma constante positiva. O que os membros desta família têm em comum? Como eles diferem entre si?

Passo 1

Quando x vai para o infinito:

lim x → ∞ ⁡ x 3 - 3 a 2 x + 2 a 3 = ∞

Quando x vai para o infinito negativo:

lim x → ∞ ⁡ x 3 - 3 a 2 x + 2 a 3 = ∞

Passo 2

Se

y = x 3 - 3 a 2 x + 2 a 3

Então a derivada é:

y ' = 3 x 2 - 3 a 2

E a derivada segunda é:

y ' ' = 6 x

Para f crescente:

y ' > 0

3 x 2 - 3 a 2 > 0

x 2 > a 2

x > a

x > a ou x < - a

Para f decrescente:

y ' < 0

3 x 2 - 3 a 2 < 0

x 2 < a 2

x < a

- a < x < a

Então f é crescente para valores de x nos intervalos - ∞ , - a e a , ∞ e decrescente em - a , a . Sendo assim temos máximo local no ponto - a , f - a = - a ,   4 a 3 e mínimo local no ponto a , f a = a , 0 .

Para f com concavidade para cima:

y ' ' > 0

6 x > 0

x > 0

Para f com concavidade para baixo:

y ' ' < 0

6 x < 0

x < 0

Logo, f possui concavidade para baixo em valores de x no intervalo - ∞ , 0 e concavidade para cima em 0 , ∞ . O pondo de inflexão é 0 , f 0 = 0,2 a 3 .

Passo 3

Com essas informações, temos o esboço:

A diverença entre os membros da família está nos pontos de máximo, mínimo e de inflexão que são dados por a .

Resposta

A diverença entre os membros da família está nos pontos de máximo, mínimo e de inflexão que são dados por a .

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