Enunciado

Freando uma motocicleta

O programa estadual de segurança do estado de Illinois exige que os condutores que dirigem a 30   m i l h a s / h o r a ( 44   p é s / s ) estejam aptos a parar no espaço de 45 pés. Que desaceleração constante é necessária para que isso ocorra?

Passo 1

Sabendo que a aceleração é a derivada da função da velocidade, podemos integrar a função da aceleração para analisar a velocidade no instante desejado.

Com isso, podemos dizer que a aceleração é dada por:

a = d 2 s d t 2 = - k

Considera-se que o deslocamento exigido será de zero (instante inicial, tal que t = 0 ) a 45 pés.

A velocidade dada é constante e tem o valor de 44   p é s / s e ela deve ser nula no tempo em que o condutor deve parar.

Passo 2

Então, para descobrir a velocidade, temos que:

v = ∫ a d t = d s d t = - k d t = - k t + C 1

Aplicando o momento em que se inicia a desaceleração:

44 = - k 0 + C 1 ∴ C 1 = 44

Com isso:

d s d t = - k t + 44

Passo 3

Agora, é possível determinar a equação do deslocamento que é representado pela integral da função velocidade, ou seja:

s = ∫ - k t + 44 d t = - k t 2 2 + 44 t + C 2

Para encontrar a constante C 2 , devemos aplicar a condição inicial. Assim, temos:

0 = - k 0 2 2 + 44 0 + C 2 ∴ C 2 = 0

E:

s = - k t 2 2 + 44 t

Passo 4

Para determinar o tempo em que o condutor para, aplicamos a velocidade nula:

d s d t = 0 = - k t + 44 ∴ t = 44 k

E, com o valor do tempo, podemos substituí-lo na equação do deslocamento para encontrar o valor de k. Portanto:

s = 45 = - k t 2 2 + 44 t = - k 44 k 2 2 + 44 44 k

45 = - 968 k + 1936 k ∴ k = 968 45 ≈ 21,5

Resposta

A desaceleração deve ser de aproximadamente 21,5   p é s / s ² .

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