Enunciado

Uma placa vertical é submersa (ou parcialmente submersa) em água e tem o formato indicado. Explique como aproximar a força hidrostática contra um lado da placa por uma soma de Riemann. Então expresse a força como uma integral e calcule-a.

Passo 1

Vamos começar o exercício esboçando a região e definindo o sistema de coordenadas de maneira com que possamos definir uma área infinitesimal para integração.

Nesse caso, a largura da placa ( w i ) varia com o comprimento, então, na i-ésima porção, por semelhança de triângulos, temos:

w i 2 = 3 - x i * 3 → w i = 2 - 2 x i * 3

Dessa forma, a pressão nessa seção infinitesimal será:

ρ g x i *

Onde ρ é a densidade da água e g é a aceleração da gravidade. Dessa forma, a força na área infinitesimal é:

ρ g x i * w i Δ x = ρ g x i * 2 - 2 x i * 3 Δ x

Passo 2

Com isso, a força hidrostática total será aproximada pela soma de Riemann como:

F ≅ ∑ i = 1 n ρ g x i * 2 - 2 x i * 3 Δ x

E, com essa informação, podemos calcular a integral como:

F = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ρ g x i * 2 - 2 x i * 3 Δ x = ∫ 0 3 ρ g x 2 - 2 x 3 d x

Podemos reescrever a integral, retirando as constantes:

F = ρ g ∫ 0 3 2 x - 2 x 2 3 d x

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo 2, temos:

F = ρ g x 2 - 2 3 3 x 3 0 3 = 1000 9,81 3 2 - 2 3 3 3 3 - 0

F = 1000 9,81 3 - 2 3 3 = 9810 3 - 2

E, com isso o valor da força na placa será:

F = 9810   N

Resposta

F ≅ ∑ i = 1 n ρ g x i * 2 - 2 x i * 3 Δ x

F = 9810   N

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Uma placa vertical é imersa (ou parcialmente imersa) na água e tem a forma indicada na figura a seguir. Explique como aproximar a força hidrostática em um lado da placa usando uma soma de Riemann. Ent
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