Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 54
Em qual ponto do paraboloide o plano tangente é paralelo ao plano ?
Passo 1
Para resolver essa questão, depois de encontrar o vetor gradiente da curva, devemos igualá-lo ao produto do vetor gradiente do plano dado por um escalar. Pela igualdade poderemos encontrar ao valor do escalar e encontrar o ponto o plano tangente do paraboloide é paralelo ao plano dado.
Passo 2
Vamo reescrever a equação do paraboloide da forma
De forma que
Então o gradiente é dado por
Lembrando que o gradiente é perpendicular ao plano tangente.
Passo 3
Já o vetor perpendicular ao plano do enunciado é
Fazendo com que o vetor do passo anterior seja paralelo a esse cara aqui
Onde é uma constante. Vamos ter então
Olhando para a componente temos que
Isso faz com que a nossa componente fique
E a componente
E ? Pra achar essa última coordenada, temos lembrar que estamos falando do paraboloide , o que nos dá
Então o nosso ponto será
Resposta
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