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Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?

Passo 1

Para resolver essa questão, depois de encontrar o vetor gradiente da curva, devemos igualá-lo ao produto do vetor gradiente do plano dado por um escalar. Pela igualdade poderemos encontrar ao valor do escalar e encontrar o ponto o plano tangente do paraboloide é paralelo ao plano dado.

Passo 2

Vamo reescrever a equação do paraboloide da forma

f x , y , z = x 2 - y + z 2 = 0

De forma que

f x = 2 x   ; f y = - 1   ; f z = 2 z

Então o gradiente é dado por

∇ f x , y , z = 2 x , - 1,2 z

∇ f x 0 , y 0 , z 0 = 2 x 0 , - 1,2 z 0

Lembrando que o gradiente é perpendicular ao plano tangente.

Passo 3

Já o vetor perpendicular ao plano do enunciado é

1,2 , 3

Fazendo com que o vetor do passo anterior seja paralelo a esse cara aqui

∇ f x 0 , y 0 , z 0 = c 1,2 , 3

Onde c é uma constante. Vamos ter então

2 x 0 , - 1,2 z 0 = c 1,2 , 3

Olhando para a componente y temos que

2 c = - 1 → c = - 1 / 2

Isso faz com que a nossa componente x fique

2 x 0 = c = - 1 2 → x 0 = - 1 4

E a componente z

2 z 0 = 3 c = - 3 2 → z 0 = - 3 4

E y 0 ? Pra achar essa última coordenada, temos lembrar que estamos falando do paraboloide y = x 2 + z 2 , o que nos dá

y 0 = x 0 2 + z 0 2 = - 1 4 2 + - 3 4 2 = 10 16

Então o nosso ponto será

- 1 4 , 10 16 ,   - 3 4

Resposta

- 1 4 , 10 16 ,   - 3 4

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