Calcule

∫ 1 4 5 x + x d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 1 4 5 x + x d x = ∫ 1 4 5 x d x + ∫ 1 4 x d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ x d x = ∫ x 1 2 d x , n = 1 2

∫ x 1 d x = x n + 1 n + 1 = x 1 2 + 1 1 2 + 1 = x 3 2 3 2 = 2 3 x 3 2

Para ∫ 5 x d x = 5 ∫ x 1 d x , n = 1

5 ∫ x 1 d x = 5 x n + 1 n + 1 = 5 x 1 + 1 1 + 1 = 5 x 2 2

∫ 1 4 5 x + x d x = 5 x 2 2 + 2 3 x 3 2

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: 5 x 2 2 + 2 3 x 3 2 4 1 =

= 5 4 2 2 + 2 3 4 3 2 - 5 1 2 2 + 2 3 1 3 2 =

5 8 + 2 3 2 2 3 2 - 5 2 + 2 3 =

40 + 2 3 2 3 - 15 + 4 6 =

40 + 2 3 × 8 - 19 6 = 240 + 32 - 19 6 = 253 6

Resposta

∫ 1 4 5 x + x d x = 253 6

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