Calcule

∫ 1 0 x 7 - x + 3 d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 1 0 x 7 - x + 3 d x = - ∫ 0 1 x 7 - x + 3 d x = - ∫ 0 1 x 7 d x - ∫ 0 1 x d x + ∫ 0 1 3 d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ x 7 d x = ∫ x 7 d x , n = 7

∫ x 7 d x = x n + 1 n + 1 = x 7 + 1 7 + 1 = x 8 8 = x 8 8

Para ∫ x d x = ∫ x 1 d x , n = 1

∫ x 1 d x = x n + 1 n + 1 = x 1 + 1 1 + 1 = x 2 2

Para ∫ 3 d x = 3 ∫ x 0 d x , n = 0

3 ∫ x 0 d x = 3 x n + 1 n + 1 = 3 x 0 + 1 0 + 1 = 3 x 1 1 = 3 x

- ∫ 0 1 x 7 - x + 3 d x = - x 8 8 - x 2 2 + 3 x

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: - x 8 8 - x 2 2 + 3 x 1 0 =

= - 1 8 8 - 1 2 2 + 3 1 - 0 8 8 - 0 2 2 + 3 0 = - 1 - 4 + 24 8   = - 21 8

Resposta

∫ 1 0 x 7 - x + 3 d x = - 21 8

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