Enunciado

Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.

L - 1 s + 1 3 s 4

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Aqui a gente vai começar expandindo esse termo ao cubo aí:

L - 1 s + 1 3 s 4 =   L - 1 s 3 + 3 s 2 + 3 s + 1 s 4 =   L - 1 1 s + 3 s 2 + 3 s 3 + 1 s 4

Agora a gente vai separar isso em 4 transformadas...

Fica:

L - 1 1 s + L - 1 3 s 2 + L - 1 3 s 3 + L - 1 1 s 4

Agora, esse teorema 7.3 que o enunciado fala traz algumas transformadas inversas básicas. Uma delas nos diz que:

L - 1 n ! s n + 1 = t n

Vamos aplicar isso em cada uma ali!

Passo 2

Começando em:

L - 1 1 s

Aqui a gente pode dizer que n = 0 e vemos que:

L - 1 1 s =   L - 1 0 ! s 0 + 1 = t 0 = 1

(lembra que fatorial de zero é 1 😉)

Beleza, vamos seguir...

Passo 3

Agora a gente vai pra:

L - 1 3 s 2

Então aqui no nosso caso, podemos dizer que n = 1 . E podemos reescrever assim:

L - 1 3 s 2 = 3 L - 1 1 s 2 = 3 L - 1 1 ! s 1 + 1 = 3 t

Esse também já foi! 😊

Passo 4

E agora vamos para:

L - 1 3 s 3

E aí a gente reescreve como:

L - 1 3 s 3 = 3 2 L - 1 2 s 3 = 3 2 L - 1 2 ! s 2 + 1 = 3 2 t 2

Mais um concluído!

Passo 5

A última transformada é:

L - 1 1 s 4 = 1 6 L - 1 6 s 4 = 1 6 L - 1 3 ! s 3 + 1 = 1 6 t 3

E agora a gente junta tudo!

L - 1 s + 1 3 s 4 = 1 + 3 t + 3 2 t 2 + 1 6 t 3

E acabamos! 😉

Resposta

L - 1 s + 1 3 s 4 = 1 + 3 t + 3 2 t 2 + 1 6 t 3

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