Enunciado

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

30. x y ' + 2 y = e x + ln ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x y ' + 2 y = e x + ln ⁡ x

x . d y d x + 2 y = e x + ln ⁡ x

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P x . y = Q x

Então teremos:

d y d x + 2 x . y = e x + ln ⁡ x x

E então tiramos que:

P x = 2 x

Q x = e x + ln ⁡ x x

Show!

Passo 3

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

y = e - ∫ 2 x d x . ∫ e ∫ 2 x d x . e x + ln ⁡ x x . d x + c

Para as integrais dos expoentes, teremos:

∫ 2 x d x = 2 ∫ 1 x d x = 2 ln ⁡ x

Substituindo:

y = e - 2 ln ⁡ x . ∫ e 2 ln ⁡ x . e x + ln ⁡ x x . d x + c

Utilizando a seguinte propriedade de logaritmos:

ln ⁡ x n = n . ln ⁡ x

Teremos:

y = e ln ⁡ x - 2 . ∫ e ln ⁡ x 2 . e x + ln ⁡ x x . d x + c

Agora utilizando essa outra propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = x - 2 . ∫ x 2 . e x + ln ⁡ x x . d x + c

Se simplificarmos o que é possível, chegaremos em:

y = x - 2 . ∫ x e x + ln ⁡ x d x + c

y = x - 2 . ∫ x e x d x + ∫ x ln ⁡ x d x + c

Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 4

O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essas últimas integrais que apareceram aí para complicar nossa vida. A primeira integral é:

∫ x e x d x

Para resolve-la precisamos utilizar o método de integração por partes. A substituição que faremos será:

u = x ⇒ d u = d x

d v = e x d x ⇒ v = e x

Caso não se lembre, a fórmula da integração por partes é:

u v - ∫ v d u

Substituindo:

x e x - ∫ e x d x

∴ ∫ x e x d x = x e x - e x = e x x - 1

Ok, primeira integral resolvida.

Passo 5

A segunda integral é:

∫ x ln ⁡ x d x

Para resolve-la precisamos utilizar o método de integração por partes. A substituição que faremos será:

u = ln ⁡ x ⇒ d u = 1 x d x

d v = x d x ⇒ v = x 2 2

Caso não se lembre, a fórmula da integração por partes é:

u v - ∫ v d u

Substituindo:

ln ⁡ x . x 2 2 - 1 2 ∫ x 2 . 1 x d x = 1 2 x 2 . ln ⁡ x - 1 2 ∫ x d x

∴ ∫ x ln ⁡ x d x = 1 2 x 2 . ln ⁡ x - 1 2 x 2

Ok, segunda integral resolvida!

Passo 6

Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:

y = x - 2 . ∫ x e x d x + ∫ x ln ⁡ x d x + c

y = x - 2 . e x x - 1 + 1 2 x 2 . ln ⁡ x - 1 2 x 2 + c

∴ y = 1 x 2 . x e x - e x + 1 2 x 2 . ln ⁡ x - 1 2 x 2 + 1 x 2 c

E está aí nosso resultado!

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = 1 x 2 . x e x - e x + 1 2 x 2 . ln ⁡ x - 1 2 x 2 + 1 x 2 c

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Ache a solução geral.h) d x d t + 2 x = 1 2
Ache a solução geral.f) d x d t - x = 5
Ache a solução geral.i) d y d x + 3 y = x
Ache a solução geral.c) d x d t - x = c o st
Ache a solução geral.m) d y d x - y = s e nx