Enunciado

Nos problemas de 5 a 16:

a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não-linear?

d) Desenhe um retado de fase do sistema não-linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não-linear.

15. d x d t = y + x 1 - x 2 - y 2 , d y d t = - x + y 1 - x 2 - y 2

Passo 1

Os pontos críticos nos são dados pela solução das equações

y + x 1 - x 2 - y 2 = 0

- x + y 1 - x 2 - y 2   = 0

Multiplicamos a primeira equação por y e a segunda por x. A diferença entre as duas equações nos da x 2 + y 2 = 0 . Logo o único ponto crítico é a origem.

Passo 2

Note que F x , y = y + x 1 - x 2 - y 2   e G x , y = - x + y 1 - x 2 - y 2 . A matriz Jacobiana do campo vetorial é

J = 1 - 3 x 2 - y 2 1 - 2 x y - 1 - 2 x y 1 - x 2 - 3 y 2

Aplicando o ponto crítico ( 0,0 ) temos

J 0,0 = 1 1 - 1 1

Os autovalores complexo r 1 ,   2 = 1 ± i . Logo a origem é um espiral instável.

Passo 3

d)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 5 a 18:(a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.(b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.(c) Encontre os autovalor
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