Enunciado

Nos problemas de 5 a 16:

a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não-linear?

d) Desenhe um retado de fase do sistema não-linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não-linear.

15. d x d t = - 2 x - y - x x 2 + y 2 , d y d t = x - y + y x 2 + y 2

Passo 1

Os pontos críticos nos são dados pela solução das equações

- 2 x - y - x x 2 + y 2 = 0

x - y + y x 2 + y 2   = 0

Conseguimos ver naturalmente que x=0 e y=0 é um dos pontos críticos. Além disso temos, isolando y na primeira equação encontramos

y = - 1 ± 1 - 8 x 2 - 4 x 4 2 x

Substituindo nasegunda equação encontramos

f 1 x = 0

f 2 x = 0

Plotando as funções notamos que somente f 1 x = 0 tem raízes reais com valor aproximado de ± 0,33076 .

Isso nos da que os pontos críticos são - 0,3307 ,   1,0924   e   0,33076 ,   - 1,0924 .

Passo 2

Note que F x , y = - 2 x - y + y x 2 + y 2   e G x , y = x - y + y x 2 + y 2 . A matriz Jacobiana do campo vetorial é

J = - 2 - 3 x 2 - y 2 - 1 - 2 x y 1 + 2 x y - 1 + x 2 + 3 y 2

Aplicando o ponto crítico ( 0,0 ) temos

J 0,0 = - 2 - 1 1 - 1

Os autovalores complexo r 1 ,   2 = - 3 ± i 3 2 .

Passo 3

No ponto - 0,3307 ,   1,0924 a matriz do sistema linear é dado por

J - 0,3307 ,   1,0924 = - 3,5216 - 0,27735 0,27735 2,6895

Os autovalores r 1 = - 3,5092 e r 2 2,6771 . Os autovalores são reais de sinais opostos. Logo o ponto crítico do sistema linear associado é uma sela, que é instável. Resultado idêntico para 0 , 3307 , -   1,0924

Passo 4

d)

Observando conseguimos ver um expiral na origem.

Próximo do ponto ( 0,33076 ,   - 1,0924 ) a natureza do ponto crítico é evidente.

Baseado na tabela 9.3.1, os temos não lineares não afetam a estabilidade e tipo de cada ponto crítico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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