Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x - y d x + x   d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

x - y d x + x   d y = 0

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x - y d x + x   d y = 0

x - u x d x + x u   d x + x   d u = 0

x   d x - u x   d x + x u   d x + x 2 d u = 0

x   d x + x 2 d u = 0

d x x +   d u = 0

d x x = - d u

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ - d u

ln ⁡ | x | = - u + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | = - y x + C

ln ⁡ | x | + y x = C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

ln ⁡ | x | + y x = C

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