Calcule

(dx/dt) = -x + 2

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d x d t = x g t + f t

Teremos esse resultado:

x = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ - 1 d t = e t

Assim fazemos:

d x d t - x g t = f t

d x d t - x g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d x d t - x g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d x e - ∫ g t d t d t = d x d t - x g t e - ∫ g t d t

Assim:

d x e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d x e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

x e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

x e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Por fim:

x = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para o nosso caso teremos:

x = k e - t + e - t ∫ 2 e t d t = k e - t + e - t 2 e t = k e - t + 2

Passo 2

Para o nosso caso teremos:

x = k e - t + e - t ∫ 2 e t d t = k e - t + e - t 2 e t = k e - t + 2

Resposta

x t = k e - t + 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados