Enunciado

Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

51. x x - 2 y ' + 2 y = 0 , no qual y 3 = 6 .

Passo 1

Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:

d y d x + P . y = Q

No qual P e Q são funções APENAS de x . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

y = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x x - 2 y ' + 2 y = 0

Como queremos escrever no formato:

d y d x + P . y = Q

Teremos:

x x - 2 . d y d x + 2 y = 0

d y d x + 2 x x - 2 y = 0

E então tiramos que:

P x = 2 x x - 2

Q x = 0

Como Q x = 0 , então nossa solução se resume à:

y = c e - ∫ P d x

Show de bola, menos trabalho pra gente, não é mesmo? Então bora que bora!

Passo 3

Substituindo na solução geral:

y = c e - ∫ P d x

y = c e - ∫ 2 x x - 2 d x

Para a integral do expoente, temos que:

∫ 2 x x - 2 d x = 2 ∫ d x x x - 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma manipulaçãozinha, saca só:

2 ∫ d x x x - 2 = 2 ∫ d x 1 - 2 x x 2

Agora vamos fazer uma substituição simples:

u = 1 - 2 x

d u = 2 x 2 d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ d u u = ln ⁡ u

Voltando para x :

∫ 2 x x - 2 d x = ln ⁡ 1 - 2 x

Ok, integral resolvida!

Passo 4

Agora que descobrimos o resultado da integral, vamos substituir lá na solução geral, saca só:

y = c e - ∫ 2 x x - 2 d x

y = c e - ln ⁡ 1 - 2 x

Utilizando essa propriedade de logaritmos:

e ln ⁡ x = x

Teremos:

y = c 1 - 2 x - 1

y = c x - 2 x

y = c x x - 2

E está aí nosso resultado! No entanto não acaba por aqui, pois a questão nos dá uma condição inicial para descobrirmos c , não é mesmo? A condição é y 3 = 6 , então se aplicarmos esse ponto, teremos:

6 = c 3 3 - 2

6 = c . 3

∴ c = 2

E então o resultado final mesmo será esse:

y = 2 x x - 2

OBS: Note que omitimos a constante arbitrária c em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉

Resposta

y = 2 x x - 2

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Resolva a equação diferencial x y ' + 2 y = 1 - x - 1
Resolva a equação diferencial y ' 2 + y = e - x sen ⁡ x
Resolva a equação diferencial 2 y ' - y = x e x / 2
Resolva a equação diferencial 1 + e x d y + y e x + e - x d x = 0
Resolva a equação diferencial x y ' - y = 2 x ln ⁡ x