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Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 11.1 - 1f

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

f x ,   y = x 2 + y 2

Passo 1

O exercício pede para provarmos que a função f x ,   y = x 2 + y 2 é diferenciável. Para isso, calculamos primeiro as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 2 x           e         ∂ f ∂ y = 2 y

Daí, vamos calcular o “limitão” para um ponto x ,   y genérico:

L = lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ f x + h ,   y + k - f x ,   y - ∂ f ∂ x   h - ∂ f ∂ y   k h 2 + k 2

Se esse limite existir e for nulo, a função será diferenciável em x ,   y . Esse é o método mais geral para testar se uma função de duas variáveis é derivável ou não. Nossa ideia aqui é calcular esse limite para um ponto genérico x ,   y e ver se ele dá zero.

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Passo 2

Nosso objetivo é calcular o limite, mas antes disso, vamos massagear um pouco a expressão:

f x + h ,   y + k - f x ,   y = x + h 2 + y + k 2 - x 2 - y 2

f x + h ,   y + k - f x ,   y = 2 x h + h 2 + 2 y k + k 2

Mas como

∂ f ∂ x = 2 x           e         ∂ f ∂ y = 2 y ,

temos que

f x + h ,   y + k - f x ,   y - ∂ f ∂ x   h - ∂ f ∂ y   k = 2 x h + h 2 + 2 y k + k 2 - 2 x h - 2 y k = h 2 + k 2

Assim, o limitão pode ser escrito como

L = lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ h 2 + k 2 h 2 + k 2 = lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 + lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ k 2 h 2 + k 2

Passo 3

Vamos calcular cada um desses limites separadamente usando o teorema do confronto:

h 2 ≤ h 2 + k 2 ⇒ - h 2 + k 2 ≤ h ≤ h 2 + k 2

Assim,

- 1 ≤ h h 2 + k 2 ≤ 1

Multiplicando todo mundo por h :

- h ≤ h 2 h 2 + k 2 ≤ h

Tomando o limite dos termos da ponta da inequação:

lim h , k → 0,0 ⁡ h = lim h , k → 0,0 ⁡ - h = 0

Assim, temos o sanduíche:

0 ≤ lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 ≤ 0

Pelo teorema do confronto:

lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 = 0

Trocando h por k , achamos

lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ k 2 h 2 + k 2 = 0

Com isso,

L = lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 + lim h ,  k → 0 ,   0 ⁡ k 2 h 2 + k 2 = 0 + 0 = 0

Como o “limitão” deu zero, vemos que f é diferenciável em x ,   y . Como esse ponto é totalmente genérico e o limite não depende dele, podemos afirmar que f é diferenciável para qualquer ponto no seu domínio.

Resposta

É diferenciável.

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