Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n + 1 2 π 1 + n

Passo 1

Antes de começarmos a resolver a questão, precisamos entender o que é o numerador da nossa série. Para isto, vamos começar a dar valores para n e observar o que isto implica na solução.

Para n = 1 , temos sen ⁡ 3 π / 2 = - 1 .

Para n = 2 , temos sen ⁡ 5 π / 2 = 1 .

Para n = 3 , temos sen ⁡ 7 π / 2 = - 1 .

Para n = 4 , temos sen ⁡ 9 π / 2 = 1 .

Se continuarmos a nossa análise, vamos perceber que:

sen ⁡ n + 1 2 π = - 1 n

Portanto, temos uma série alternada!

Para que a mesma seja convergente, ela deve satisfazer o teste da série alternada. E o mesmo nos pede que, seja a seguinte série

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1   b n

Então,

b n + 1 ≤ b n   p a r a   t o d o   n

lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se estes dois critérios forem satisfeitos, então, a série é convergente. Caso contrário, é uma série divergente.

Passo 2

Vamos checar cada um dos pontos do Teste. Começando pelo fato que b n + 1 ≤ b n , isto é, checar se a nossa função é decrescente. Para a nossa questão,

b n = 1 1 + n

Consequentemente, temos:

b 1 = 1 1 + 1

b 2 = 1 1 + 2

b 3 = 1 1 + 3

E assim por diante. A função b n é uma função decrescente. Por isto, ela satisfaz o primeiro critério do teste!

Passo 3

Para testarmos o segundo critério, temos que analisar o limite da função. Portanto,

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + n = 1 ∞ = 0

Como este limite tende a zero, satisfaz o segundo critério do teste. Como os dois critérios foram satisfeitos, a nossa série é convergente!

Resposta

A série é convergente.

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