Enunciado

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Questão 14) Calcule a integral indefinida:

  ∫ s e n x ( ln ⁡ x ) dx

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando   " s e n ( ln ⁡ x ) " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária( p ( X ) q x onde p ( X ) e q x são polinômios) para usar as técnicas de integrais por frações parciais

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão “resolva essa integral por uma técnica x” .

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções, mas no integrando da integral do enunciado só possui uma função certo? Errado.

Perceba que existe o número 1 multiplicando o s e n ( ln ⁡ x ) , ou seja

                                      ∫ 1 . s e n ( ln ⁡ x ) dx = ∫ s e n ( ln ⁡ x ) dx .

Analisando a formula de integração por partes

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

Veja que devemos fazer todos os termos da formula aparecer, certo ? vamos lá

Façamos f(x) = s e n ( l n ( x ) )         derivando f’(x) = c o s ⁡ ( l n x ) x

g’(x)=1 integrando g(x)=x

Passo 3

Substituindo os termos encontrado na formula de integração por partes, teremos

∫ s e n x ( ln ⁡ x ) d x = x . s e n ( l n x ) -   ∫ c o s ( ln ⁡ x ) d x      

(Note que devemos integrar por partes outra vez no ultimo termo da equação “ ∫ c o s ( ln ⁡ x ) dx” )

Seja f(x)= c o s ( l n ( x ) )         derivando f’(x) = - s e n ⁡ ( l n x ) x

g’(x)=1 integrando g(x)=x

Substituindo na formula de integração por partes novamente, temos

∫ c o s ( ln ⁡ x ) d x = x . c o s ( ln ⁡ x )   - ∫ - x . s e n ( ln ⁡ x ) / x dx “cortando o x” pois há x no

numerador e denominador. = x . c o s ( l n x )   - ∫ - s e n ( ln ( ⁡ x ) ) dx

Substituindo esse resultado na formula principal, temos

∫ s e n x ( ln ⁡ x ) dx = xsen(lnx)- ∫ c o s ( ln ⁡ x ) dx

= x s e n l n x -   [ x c o s ( l n x )   - ∫ - s e n ( ln ⁡ x ) d x ]

Note que há ∫ s e n x ( ln ⁡ x ) dx em ambos lados da equação e além disso, preste atenção nos sinais ( existe o “ – “ da formula )

Passando por outro lado, fica

2 ∫ s e n x ( ln ⁡ x ) d x = x s e n ( l n x ) -   x c o s ( l n x )

∫ s e n x ( ln ⁡ x ) d x = x s e n ( l n x ) -   x c o s ( l n x ) 2 + C

Resposta

∫ s e n x ( ln ⁡ x ) d x = x s e n ( l n x ) -   x c o s ( l n x ) 2 + C

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