Enunciado

A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Ache (a) o deslocamento e (b) a distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado.

v t = 3 t - 5 , 0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função que expressa a velocidade em função do tempo t de uma partícula ao longo de uma linha reta:

v t = 3 t - 5

Para 0 ≤ t ≤ 3 .

Queremos encontrar o deslocamento e a distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado.

Para isso, devemos integrar a expressão, pois o deslocamento é a antiderivada da velocidade!!

A seguir a gente vai ver a diferença entre os dois questionamentos que a questão está pedindo.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

  1. Vamos lá, queremos o descolamento, devemos lembrar que o deslocamento é encontrado integrando a função velocidade, e foi pedido para encontrar no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3 , esses são os nossos limites de integração, vamos calcular então:
  2. ∫ 0 3 3 t - 5   d t

    Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

    ∫ 3 t - 5   d t = ∫ 3 t   d t + ∫ - 5   d t

    Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ c f x d x = c ∫ f x d x

    ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

    ∫ k d x = k x + C

    Passo 3

    Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

    ∫ 3 t   d t = 3 ∫ t   d t = 3 ∙ t 1 + 1 1 + 1 = 3 t 2 2 + C

    ∫ - 5   d t = - 5 t + C

    Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

    ∫ a b f x d x = F b - F a

    Ficamos então com:

    ∫ 0 3 3 t - 5   d t = 3 t 2 2 0 3 + - 5 t 0 3 = 3 . 3 2 2 - 3 . 0 2 2 + - 5.3 - - 5.0 = 27 2 + - 15 = - 3 2

    Passo 4

  3. Para calcular a distância pecorrida pela partícula devemos resolver a mesma integral, com a diferença da função estar em módulo:

∫ 0 3 3 t - 5   d t

Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo. Veja bem, o que temos que fazer é separar essa integral, para isso vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:

∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x = ∫ a b f x d x

Pronto, vamos usar!! Vemos que a função é negativa quando t < 5 3 , vamos então usar o limite de integração de 0 a 5 3 com a função 3 t - 5 = - 3 t - 5 = - 3 t + 5 ; e ela é positiva quando t > 5 3 , vamos então usar o limite de integração de 5 3 a 3 com a função 3 t - 5 = 3 t - 5 :

∫ 0 3 3 t - 5   d t = ∫ 0 5 3 - 3 t + 5   d t + ∫ 5 3 3 3 t - 5   d t

Passo 3

Viu? Agora fica simples de resolver, vamos fazer separademente, para não confundir:

∫ 0 5 3 - 3 t + 5   d t = - 3 ∙ t 1 + 1 1 + 1 + 5 t 0 5 3

= - 3 t 2 2 + 5 t 0 5 3

= - 3 ∙ 5 3 2 2 + 5 ∙ 5 3 - - 3 ∙ 0 2 2 + 5 ∙ 0

= 25 6

E

∫ 5 3 3 3 t - 5   d t = 3 ∙ t 1 + 1 1 + 1 - 5 t 5 3 3

= 3 t 2 2 - 5 t 5 3 3

= 3 ∙ 3 2 2 - 5 ∙ 3 - 3 ∙ 5 3 2 2 - 5 ∙ 5 3

= 8 3

Juntando os dois resultados, temos:

∫ 0 3 3 t - 5   d t = ∫ 0 5 3 - 3 t + 5   d t + ∫ 5 3 3 3 t - 5   d t

= 25 6 + 8 3

= 41 6

Resposta

  1. O deslocamento é - 3 2 m.
  2. A distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado é 41 6 m.
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