12. Resolva a equação diferencial x dy/dx - 4y = x^4 e^x

Passo 1

Observe que a EDO é linear, pois dividindo ambos os lados por x obtemos y ' - 4 x y = x 3 e x e portanto temos P x = - 4 x e Q x = x 3 e x .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja I x = e ∫ ⁡ - 4 x d x = e - 4 ln ⁡ x = 1 x 4 .

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = 1 x 4 e que Q x = x 3 e x .

Passo 4

Então precisamos calcular ∫ 1 x 4 x 3 e x d x = ∫ e x x d x . Bom pessoal, chegamos em uma integral nada trivial , conhecida como “exponencial integral”, que envolve conceitos que vão além do que foi visto até o momento , como o somatório de séries de maclaurin. Sendo assim , após aplicação desses conceitos, obtemos que:

∫ e x x d x = E i x + C

Passo 5

E como vimos anteriormente , a solução é dada por:

y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C

y x = 1 1 x 4 E i x + C = x 4 ( E i x + C )

Resposta

y x = x 4 ( E i x + C )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados