Resolva as equações diferenciais

dθ/dt = t \* sec(θ) / (θ \* e^(t^2))

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

d θ d t = t sec ⁡ θ θ e t 2

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for x vai para um lado, tudo que for y vai para o outro.

d θ d t = t sec ⁡ θ θ e t 2

θ sec ⁡ θ d θ = t e t 2   d t

θ cos ⁡ θ d θ = t e t 2   d t

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ t e t 2   d t

Do lado direito podemos fazer o seguinte truque. Pensar em qual é a derivada da exponencial e ajustar a integral multiplicando por constantes depois.

d d t   e t 2 = 2 t e t 2

Logo para obtermos

t e t 2

Precisamos apenas multiplicar por ½ . Então ficamos com :

∫ θ cos ⁡ θ d θ = e t 2 2

Para o lado esquerdo vamos precisar usar um outro truque. Vamos ter que recorrer a Integração por partes. Então se temos u t     e v ( t ) e derivarmos teremos :

d d t u v = u ' v + u v '

Em seguida, podemos integrar ambos os lados e teremos de volta uv

∫ d d t u v d t =   ∫ u ' v + u v ' d t

u v = ∫ u ' v d t + ∫ u v ' d t  

∫ u ' v d t = u v - ∫ u v ' d t  

Faremos então u ' = cos ⁡ θ e v =   θ

∫ θ cos ⁡ θ d θ = θ sin ⁡ θ - ∫ s i n θ   d θ

∫ θ cos ⁡ θ d θ = θ sin ⁡ θ - - cos ⁡ θ

∫ θ cos ⁡ θ d θ = θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ

UFAA!! Admito que essa deu mais trabalho, mas conseguimos. Vamos unir ambas as partes

θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ =   e t 2 2 + C

2 θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ + C = e t 2        

Vamos aplicar logaritmos agora em ambos os lados

t 2 = ln [ ⁡ 2 θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ + C ]  

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se multiplicarmos por qualquer valor, não fará a menor diferença. Então não é costume alterar essas constantes. Beleza!

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t 2 = ln [ ⁡ 2 θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ + C ]  

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