Enunciado

Resolva o problema de contorno, se possível.

y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

Começamos então supondo uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

As derivadas primeira e segunda são:

y^' (x) = A k e^(k x)

y^(' ') (x) = A k^2 e^(k x)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k x) + 2 k A e^(k x) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k x) temos:

k^2 + 2 k = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou colocar k em evidência:

k (k + 2) = 0

Bom, aqui temos um produto e ele tem que ser igual à zero. Sendo assim, temos duas soluções, onde cada termo desse produto é zero. Daqui saem duas raízes:

k = 0 , k = - 2

Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 .

Como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.

y (x) = c_1 e^(0 x) + c_2 e^(- 2 x)

y (x) = c_1 + c_2 e^(- 2 x)

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (0) = 1

y (1) = 2

A primeira condição de contorno nos diz que y (0) = 1 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (1) = c_1 + c_2 e^0 = 1

Sendo assim temos:

[c_1 + c_2] = 1

Dalí tiramos o valor de c_1 :

c_1 = 1 - c_2

A segunda condição de contorno é em outro ponto da solução. Então temos:

y (1) = c_1 + c_2 e^(- 2) = 2

Substituindo c_1 temos uma expressão apenas com c_2 :

1 - c_2 + c_2 e^(- 2) = 2

c_2 (e^(- 2) - 1) = 2 - 1

c_2 = (1)/(e^(- 2) - 1) = (e^2)/(1 - e^2)

Mas sabemos que c_1 = 1 - c_2 , então substituindo o valor de c_2 ficamos com uma expressão apenas para c_1 :

c_1 = 1 - (e^2)/(1 - e^2) = (1 - e^2 - e^2)/(1 - e^2) = (1 - 2 e^2)/(1 - e^2)

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (x) = (1 - 2 e^2)/(1 - e^2) + (e^2)/(1 - e^2) . e^(- 2 x)

y (x) = (1 - 2 e^2)/(1 - e^2) + (e^(2 - 2 x))/(1 - e^2)

E é essa a solução!

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = (1 - 2 e^2)/(1 - e^2) + (e^(2 - 2 x))/(1 - e^2)

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