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Resolva o problema de contorno, se possível.

y ' ' + 2 y ' = 0 ,       y 0 = 1 ,   y 1 = 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

Começamos então supondo uma solução do tipo:

y x = A e k x

As derivadas primeira e segunda são:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + 2 k A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + 2 k = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou colocar k em evidência:

k k + 2 = 0

Bom, aqui temos um produto e ele tem que ser igual à zero. Sendo assim, temos duas soluções, onde cada termo desse produto é zero. Daqui saem duas raízes:

k = 0   ,   k = - 2

Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 .

Como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.

y x = c 1 e 0 x + c 2 e - 2 x

y x = c 1 + c 2 e - 2 x

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y 0 = 1

y 1 = 2

A primeira condição de contorno nos diz que   y 0 = 1 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y 1 = c 1 + c 2 e 0 = 1

Sendo assim temos:

c 1 + c 2 = 1

Dalí tiramos o valor de c 1 :

c 1 = 1 - c 2

A segunda condição de contorno é em outro ponto da solução. Então temos:

y 1 = c 1 + c 2 e - 2 = 2

Substituindo c 1 temos uma expressão apenas com c 2 :

1 - c 2 + c 2 e - 2 = 2

c 2 e - 2 - 1 = 2 - 1

c 2 = 1 e - 2 - 1 = e 2 1 - e 2

Mas sabemos que c 1 = 1 - c 2 , então substituindo o valor de c 2 ficamos com uma expressão apenas para c 1 :

c 1 = 1 - e 2 1 - e 2 = 1 - e 2 - e 2 1 - e 2 = 1 - 2 e 2 1 - e 2

Agora temos como determinar por completo a solução:

y x = 1 - 2 e 2 1 - e 2 + e 2 1 - e 2 . e - 2 x

y x = 1 - 2 e 2 1 - e 2 + e 2 - 2 x 1 - e 2

E é essa a solução!

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = 1 - 2 e 2 1 - e 2 + e 2 - 2 x 1 - e 2

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