Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

y ' =     2 ( 1   +   x )   ( 1   + y 2 )   , y 0 = 0

e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes disso, vamos fazer essa substituição: y '   = d y d x

Assim, temos:

d y d x =   2 ( 1   +   x )   ( 1   + y 2 )

d y 1 + y 2 = 2 1 + x d x

Passo 2

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d y 1 + y 2 =   ∫ 2 1 + x d x

a r c t a n   y + c = x ( x + 2 ) + c '

a r c t a n   y = x ( x + 2 ) + C

No enunciado há uma informação de que y 0 = 0 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

a r c t a n   y = x ( x + 2 ) + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

a r c t a n   0 = 0 ( 0 + 2 ) + C

C   = 0

Assim, a equação é:

a r c t a n   y = x ( x + 2 )

  y = t a n   ( 2 x + x 2 )

Passo 3

Ao observarmos a equação acima, vemos que a solução será definida quando submetemos ao intervalo de -   π / 2 < 2 x   + x 2 <     π / 2 . Em que 2 x + x 2 é o ângulo da tangente. Dessa forma, calculando a inequação acima, temos como intervalo:

- 2,6   <   x   <   0,6 (aproximadamente)

Porém, a solução pedida no enunciado é dada quando   x   =   -   1 , desde que a segunda derivada da função y (y’’) seja maior que zero no intervalo visto, aí teremos um intervalo definido. Assim, vemos como solução do valor mínimo   x   =   -   1 .

Resposta

  y = t a n   ( 2 x + x 2 )

  x   =   -   1

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