Resolva o problema de valor inicial:

x \* dy/dx + 2y = x^2 + 1, x > 0, y(1) = 1

Passo 1

Vamos começar dividindo tudo por x ...

y ' + 2 y x = x + 1 x

Agora vamos ao fator integrante v y = e ∫ P x ...

O P ( x ) é 2 x certo? Então vamos integrar isso...

∫ 2 x = 2 ln ⁡ x + C

O fator integrante então é:

v x = e 2 ln ⁡ x = x 2

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = 1 v x ∫ v x Q x d x

A nossa fica:

y = 1 x 2 ∫ x 2 x + 1 x d x

y = 1 x 2 ∫ x x 2 + 1 d x

y = 1 x 2 ∫ x 3 + x   d x

y = 1 x 2 x 4 4 + x 2 2 + C

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y 1 = 1 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y 1 = 1 1 2 1 4 4 + 1 2 2 + C = 1  

3 4 + C = 1 → C = 1 4

Então a solução da equação é:

y = 1 x 2 x 4 4 + x 2 2 + 1 4

Resposta

y = 1 x 2 x 4 4 + x 2 2 + 1 4

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