Resolva o problema de valor inicial:

dy/dx + 3x^2y = x^2, y(0) = -1

Passo 1

Nessa a gente pode só reescrever, pois ela já está no formato padrão y ' + P x y = Q ( x ) :

y ' + 3 x 2 y = x 2

Agora vamos ao fator integrante v y = e ∫ P x ...

O P ( x ) é   3 x 2 certo? Então vamos integrar isso...

∫ 3 x 2   d x = x 3 + C

O fator integrante então é:

v x = e x 3

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = 1 v x ∫ v x Q x d x

A nossa fica:

y = 1 e x 3 ∫ e x 3 ( x 2 ) d x

y = 1 e x 3   1 3 e x 3 + C

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y 0 = - 1 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y 0 = 1 e 0 1 3 e 0 + C = - 1

1 3 + C = - 1 → C =   - 4 3

Então a solução da equação é:

y = 1 e x 3   1 3 e x 3 - 4 3

y = 1 3 - 4 3 e x 3

Resposta

y = 1 3 - 4 3 e x 3

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