Calcule a integral

∫ log 10 ⁡ x x d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ log 10 ⁡ x x d x

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log 10 ⁡ x , consequentemente, temos d u = d x x ln ⁡ 10 . Portanto, temos:

∫ log 10 ⁡ x x d x = ln ⁡ 10 ∫ u   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

ln ⁡ 10 ⋅ ∫ u   d u = ln ⁡ 10 ⋅ u 2 2 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln ⁡ 10 ⋅ u 2 2 + k = ln ⁡ 10 ⋅ log 10 ⁡ x 2 2 + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

∫ log 10 ⁡ x x d x = ln ⁡ 10 ⋅ log 10 ⁡ x 2 2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

∫ log 10 ⁡ x x d x = ln ⁡ 10 ⋅ log 10 ⁡ x 2 2 + k

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