Resolva os problemas de valor inicial.

dy/dx = (x^2 - 1) / (x^2 + 1) , y(1) = pi / 2

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente primeiro precisa encontrar a função y , pra isso, é só a gente integrar, e ficamos assim:

y = ∫ x 2 - 1 x 2 + 1   d x

A gente também pode escrever isso assim:

y = ∫ 1 - 2 x 2 + 1   d x

E com a propriedade da soma a gente pode dividir essa integral em duas, bem assim:

y = ∫ 1   d x - 2 ∫ 1 x 2 + 1   d x

Resolvemos:

y = x - 2 arctan ⁡ x + C

Passo 2

Beleza, agora o problema de valor inical, a gente usa o que temos para formar uma equação e encontrar-mos o valor da constante C :

y 1 = π 2 = ( 1 ) - 2 arctan ⁡ ( 1 ) + C

→ π 2 = 1 - 2 ⋅ π 4 + C

→ C = π 2 - 1 + π 2 = π - 1  

Passo 3

Show de bola pessoal, por fim a gente só substitui na integral que já calculamos no passo 1, e então ficamos com a função inicial:

y x = x - 2 arctan ⁡ x + π - 1

Resposta

y x = x - 2 arctan ⁡ x + π - 1

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