Enunciado

Se retas são traçadas paralelas aos eixos coordenados passando por um ponto P na parábola a parábola divide a região retangular delimitada por essas retas e os eixos coordenados em duas regiões menores, A e B.

a. Se as duas regiões menores são giradas em torno do eixo y, mostre que elas geram sólidos cujos volumes têm a razão 4:1.

b. Qual é a razão dos volumes gerados pelo giro das regiões em torno do eixo x?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Pro item a), temos que:

y = k x

Dessa forma,

x = y 2 k

Então o volume do solido gerado pela rotação da área, é dado por:

V = - ∫ 0 k x π y 2 k 2 d y + π x 2 k x

V = 4 π x 2 k x 5

Portanto, temos a razão de 4 para 1 dentro da área.

Passo 2

Para o item b), calcularemos a razão dos volumes gerados pelo giro das regiões em torno do eixo x. Dessa forma,

V = π k x 2 - π k x 2 2 = π k x 2 2

Analogamente,

∫ 0 x π ( k t ) 2 d t = π k x 2 2

Então a razão para eixo x é de 1 : 1

Resposta

a )   4 : 1

b ) 1 : 1

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