Enunciado

Se f x = sec ⁡ x , encontre f " ( π / 4 ) .

Passo 1

Oiee, bora lá

O enunciado pede para encontrar a segunda derivada da função f x = sec ⁡ x e avaliá-la em f " ( π / 4 )

A segunda derivada de uma função é uma medida da taxa de variação da taxa de variação, ou seja, é uma medida da concavidade da curva.

Avaliar a segunda derivada em um ponto específico nos dará informações sobre a concavidade da curva nesse ponto.

No caso desta função, f x = sec ⁡ x , a primeira derivada já foi encontrada anteriormente e agora precisamos encontrar sua segunda derivada.

Em seguida, vamos avaliar essa segunda derivada em f " ( π / 4 )   para descobrir como a concavidade da curva está se comportando nesse ponto.

A regra do quociente é uma regra de diferenciação que nos permite encontrar a derivada de uma função que é o quociente de duas outras funções. Matematicamente, se temos uma função f ( x ) definida como u x v x onde u x e   v ( x ) são funções diferenciáveis, então a derivada de f ( x ) em relação a x é dada pela seguinte fórmula:

u x v x ' = u ' x v x - u x v ' x v x 2

A intuição por trás da regra do quociente é semelhante à da regra do produto. Ao diferenciar uma função que é o quociente de duas outras funções, devemos considerar como a variação de uma função afeta a outra. A regra do quociente nos permite fazer isso de forma sistemática, evitando a necessidade de usar a definição de derivada diretamente.

Passo 2

Para derivarmos vamos, primeiramente, reescrever a equação de forma mais simples:

f x = sec ⁡ x

f x = 1 cos ⁡ x

Agora, para derivarmos, podemos aplicar a regra do quociente:

f ' x = d d x 1 cos ⁡ x

f ' x = d d x 1 × cos ⁡ x - 1 × d d x ( cos ⁡ x ) cos 2 ⁡ x

f ' x = 0 × cos ⁡ x - 1 × ( - sen ⁡ x ) cos 2 ⁡ x

f ' x = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

f ' x = sen ⁡ x cos ⁡ x × 1 cos ⁡ x

f ' x = tg ⁡ x sec ⁡ x

Passo 3

Para derivarmos f ' x para obter f ' ' ( x ) podemos aplicar a regra do produto, mas para isso precisamos das derivadas da tangente e da secante:

- A derivada da tangente pode ser obtida pela regra do quociente da seguinte forma:

d d x tg ⁡ x = d d x sen ⁡ x cos ⁡ x

d d x tg ⁡ x = d d x sen ⁡ x × cos ⁡ x - sen ⁡ x × d d x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x tg ⁡ x = cos ⁡ x × cos ⁡ x - sen ⁡ x × - sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x tg ⁡ x = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x tg ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

- A derivara da secante é a derivada calculada no início do exercício, ou seja:

d d x sec ⁡ x = tg ⁡ x sec ⁡ x

Passo 4

Então, f ' ' ( x ) é dada por:

f ' ' x = d d x tg ⁡ x sec ⁡ x

f ' ' x = d d x tg ⁡ x sec ⁡ x + tg ⁡ x   d d x sec ⁡ x

f ' ' x = sec 2 ⁡ x sec ⁡ x + tg ⁡ x   tg ⁡ x sec ⁡ x

f ' ' x = sec 3 ⁡ x + sec ⁡ x tg 2 ⁡ x

Portando, o valor de f " ( π / 4 ) é dado por:

f ' ' π 4 = sec 3 ⁡ π 4 + sec ⁡ π 4 tg 2 ⁡ π 4

f ' ' π 4 = 2 2 + 2 1

f ' ' π 4 = 3 2

Resposta

f ' ' π 4 = 3 2 .

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