Enunciado

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?

d) ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2

Passo 1

Fala aí, galera! Esta questão nos pede para verficar se o Teste da Razão é conclusivo ou não para a série dada. O Teste da Razão nos diz que:

  1. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L < 1 , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
  2. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L > 1 ou se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = ∞ , então a série dada é divergente.
  3. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L = 1 , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Assim, para resolvermos o problema, precisamos determinar as expressões para o n-ésimo e (n+1)-ésimo termo da série, escrever a divisão a n + 1 a n e, então, tirar o módulo dessa razão. Feito isso, nós calculamos o limite desse módulo quando n tende ao infinito e verficamos se o resultado é menor que, maior que, igual a 1 ou tende ao infinito.

Passo 2

O termo an já nos foi dado. Ele acompanha o símbolo de somatório. Logo,

a n = n 1 + n 2

O termo an+1, por sua vez, pode ser obtido substituindo n por n + 1 na equação acima. Assim, temos que:

a n + 1 = n + 1 1 + n + 1 2

Dessa forma, temos que:

a n + 1 a n = n + 1 1 + n + 1 2 n 1 + n 2 = n + 1 1 + n + 1 2 ⋅ 1 + n 2 n = 1 + n 2 1 + ( n 2 + 2 n + 1 ) ⋅ n + 1 n

Veja que a razão a n + 1 a n é positiva. Isso porque a raiz quadrada em questão é sempre positiva. Além disso, n 2 ≥ 0 , logo 1 + n 2 ≥ 1 . Do mesmo modo, n + 1 2 ≥ 0 e 1 + n + 1 2 ≥ 1 . E nós sabemos que o produto de dois números positivos é sempre positivo. Logo, temos que:

  a n + 1 a n = a n + 1 a n = n 2 + 1 n 2 + 2 n + 2 ⋅ n + 1 n  

Passo 3

Então, galera, nós calculamos a razão a n + 1 a n . Agora, nós precisamos calcular seu limite quando n tende ao infinito:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n 2 + 1 n 2 + 2 n + 2 ⋅ n + 1 n

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n 2 1 + 1 n 2 n 2 1 + 2 n + 2 n 2 ⋅ n 1 + 1 n n = 1 + 1 n 2 1 + 2 n + 2 n 2 ⋅ 1 + 1 n

Quando n torna-se cada vez maior, as frações 1 n 2 , 2 n , 2 n 2 e 1 n tendem a zero. Desse modo, a razão 1 + 1 n 2 1 + 2 n + 2 n 2 → 1 e 1 + 1 n → 1 . Logo, o produto no limite acima tende a 1. Temos, então, que lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 .

Como o limite é igual 1, o Teste da Razão é inconclusivo para este caso e não conseguimos concluir se a série da questão converge ou diverge.

Resposta

O Teste da Razão é inconclusivo para esta questão, pois:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

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