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Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1 - Capítulo 5.10 - Ex. 31

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Seja F x = ∫ 0 x f ( t ) d t , onde f é a função do gráfico a seguir.

(a) Encontre F ( 0 ) , F ( 3 ) , F ( 5 ) , F ( 7 ) e F ( 10 ) .

(b) Em quais subintervalos de [ 0,10 ] F é crescente e em quais é decrescente?

(c) Onde F toma seu valor máximo e onde toma seu valor mínimo?

(d) Esboce o gráfico de F .

Passo 1

(a) Ok, para achar os valores de F , precisamos apenas calcular os valores das áreas de f nos intervalos da integral, já que F é a área de f em algum intervalo.

Para isso, vamos encontrar as retas que definem f .

De 0 até 3 , f é uma reta que passa pelos pontos ( 0 ,   - 3 ) e ( 3 ,   3 ) :

y = a x + b

- 3 = b

3 = 3 a + b → a = 2

Então, de 0 a 3 :

f x = 2 x - 3

De 3 até 5 , f é uma reta que constante em y = 3 .

De 5 até 7 , f é uma reta que passa pelos pontos ( 5 ,   3 ) e ( 7 ,   - 3 ) :

y = a x + b

3 = 5 a + b

- 3 = 7 a + b

a = - 3 e b = 18

Então, de 5 a 7 :

f x = - 3 x + 18

E de 7 a 10 , f é uma reta que passa pelos pontos ( 7 ,   - 3 ) e ( 10 ,   1 ) :

y = a x + b

- 3 = 7 a + b

1 = 10 a + b

a = 4 3 e b = - 37 3

Então, de 7 a 10 :

f x = 4 3 x - 37 3

Então:

f x = 2 x - 3 ,   0 ≤ x ≤ 3 3 ,   3 < x ≤ 5 - 3 x + 18 ,   5 < x ≤ 7 4 3 x - 37 3 ,   7 < x ≤ 10

Passo 2

Para achar F ( 0 ) , vamos calcular:

F 0 = ∫ 0 0 f ( t ) d t = 0

Para achar F ( 3 ) , vamos calcular:

F 3 = ∫ 0 3 f ( t ) d t = ∫ 0 3 2 x - 3 d t = x 2 - 3 x 0 3

F 3 = 0

Para achar F ( 5 ) , vamos calcular:

F 5 = ∫ 0 5 f ( t ) d t = F ( 3 ) + ∫ 3 5 3 d t = 3 x 3 5

F 5 = 6

Para achar F ( 7 ) , vamos calcular

F 7 = ∫ 0 7 f ( t ) d t = F 5 + ∫ 5 7 - 3 x + 18 d t = 6 + - 3 x 2 2 + 18 x 5 7

F 7 = 6

Para achar F ( 10 ) , vamos calcular

F 10 = ∫ 0 10 f ( t ) d t = F 7 + ∫ 7 10 4 3 x - 37 3 d t = 6 + 2 3 x 2 - 37 3 x 7 10

F 10 = 3

Passo 3

(b) Para saber onde F é crescente e decrescente, precisamos derivar essa função e ver onde a derivada é positiva e onde é negativa. Show! Então, vamos calcular a derivada disso aí:

F x = ∫ 0 x f t d t

d d x ∫ 0 x f t d t = f ( x )

Opa, então, o que vai mandar no sinal da derivada de F é o próprio f que achamos. Onde f é positivo, F é crescente, e onde f é negativo, F é decrescente.

Olhando para o gráfico de f , vemos que:

F é crescente em 3 2 ,   6 e 37 4 ,   10

E

F é decrescente em 0 , 3 2   e 6 ,   37 4

Passo 4

(c) Para saber os máximos e mínimos, temos que saber os pontos críticos, ou seja, onde F ' x = 0 . Temos, então:

F ' x = f x = 0

E f x = 0 em x = 3 2 , x = 6 e x = 37 4 .

Pela reposta do item anterior, vemos que F decresce de 0 até 3 2 , depois cresce até 6 . Ou seja, x = 3 2 pode ser o nosso mínimo. Além dele, temos que F decresce de 6 até 37 4 , depois cresce até 10 . Ou seja, x = 37 4 pode ser o nosso mínimo também. Só que se a gente calcula os valores de F nesses pontos, vemos que:

F 3 2 = ∫ 0 3 2 f ( t ) d t = ∫ 0 3 2 2 x - 3 d t = x 2 - 3 x 0 3 2

F 3 2 = - 2,25

E:

F 37 4 = ∫ 0 37 4 f ( t ) d t = F 7 + ∫ 7 37 4 4 3 x - 37 3 d t = 6 + 2 3 x 2 - 37 3 x 7 37 4

F 37 4 = 2,625

Com isso, x = 3 2 é o ponto de mínimo e seu valor é - 2,25 .

E o único ponto que pode ser de máximo é em x = 6 e seu valor é:

F 6 = ∫ 0 6 f ( t ) d t = F 5 + ∫ 5 6 - 3 x + 18 d t = 6 + - 3 x 2 2 + 18 x 5 6

F 6 = 7,5

Passo 5

(d) Então, já temos os pontos de máximo e mínimo;

O intervalo que vamos esboçar a função;

Onde é crescente e decrescente.

Juntando todas essas informações e os valores em cada pono que discutimos anteriormente, chegamos nesse gráfico:

Resposta

(a) F 0 = 0 ; F 3 = 0 ; F 5 = 6 ; F 7 = 6 ; F 10 = 3 .

(b) F é crescente em 3 2 ,   6 e 37 4 ,   10 e F é decrescente em 0 , 3 2   e 6 ,   37 4 .

(c) x = 3 2 é o ponto de mínimo e seu valor é - 2,25 e x = 6 é o ponto de máximo e seu valor é 7,5 .

(d)

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