Enunciado

Seja D o disco com centro na origem e raio a. Qual é a distância média dos pontos em D em relação à origem?

Passo 1

Para podermos resolver a questão, precisamos lembrar primeiramente como calculamos o valor médio dentro de uma região. O mesmo é expresso por:

μ = ∬ D f x , y d A ∬ D d A

Portanto, precisamos resolver duas integrais. Como estamos trabalhando com uma região em disco, dada por x 2 + y 2 ≤ a 2 , é conveniente descrevermos ela através de coordenadas polares. Portanto, a nossa região, em coordenadas polares, é dada por:

0 ≤ r ≤ a 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Agora, só nos falta determinar a função distância em si. A distância de um ponto X = x , y até a origem O = 0,0 é dado por:

f x , y = x - 0 2 + y - 0 2 = x 2 + y 2

Escrevendo também a nossa função em coordenadas polares, o seu valor médio será calculado através da seguinte relação:

  μ = ∬ D r 2 r d r d θ ∬ D r d r d θ = ∬ D r 2 d r d θ ∬ D r d r d θ

Passo 2

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela integral do numerador, temos:

∬ D r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 2 d r d θ = 2 π a 3 3

Já a integral do denominador, temos:

∬ D r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r d r d θ = π a 2

Portanto, o valor médio é dado por:

μ = 2 π a 3 3 π a 2 = 2 a 3

Resposta

V a l o r   m é d i o = 2 a 3

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