Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 38
Seja D o disco com centro na origem e raio a. Qual é a distância média dos pontos em D em relação à origem?
Passo 1
Para podermos resolver a questão, precisamos lembrar primeiramente como calculamos o valor médio dentro de uma região. O mesmo é expresso por:
Portanto, precisamos resolver duas integrais. Como estamos trabalhando com uma região em disco, dada por , é conveniente descrevermos ela através de coordenadas polares. Portanto, a nossa região, em coordenadas polares, é dada por:
Agora, só nos falta determinar a função distância em si. A distância de um ponto até a origem é dado por:
Escrevendo também a nossa função em coordenadas polares, o seu valor médio será calculado através da seguinte relação:
Passo 2
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela integral do numerador, temos:
Já a integral do denominador, temos:
Portanto, o valor médio é dado por: