Enunciado

(a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 +   3 y e acima do retângulo R = 1,2 × [ 0,3 ] . Use a soma de Riemann com m = n = 2 e escolha os pontos de amostragem como os cantos inferiores esquerdos.

(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do item (a).

Passo 1

Letra a:

Vamos primeiro construir a área delimitada pela região R e os pontos que serão usados na função. Temos que o intervalo de x é entre 1 ≤ x ≤ 2 e está dividido em m = 2 espaços. Já em y temos o intervalo de 0 ≤ y ≤ 3 e está dividido em n = 2 . O gráfico desses pontos é:

Considerando os cantos inferiores esquerdos, então os pontos vão ser:

0,0 ; 1,0 ; ( 0 ; 1,5 ) ; ( 1 ; 1,5 )

E o valor de Δ A ? É a área de cada um dos retângulos. Cada um deles tem base 1 e altura 1,5 :

Δ A = 1.1,5 = 1,5

Passo 2

Agora vamos estimar o valor de ∬ R ( 1 + x 2 +   3 y ) d A . Usando a fórmula de Riemann:

∬ R ( 1 + x 2 +   3 y ) d A ≈ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x , y Δ A = f 0,0 Δ A + f 1,0 Δ A + f 0 ; 1,5 Δ A + f 1 ; 1,5 Δ A

E agora vamos aplicar na função f x , y = ( 1 + x 2 +   3 y ) os pontos:

∬ R ( 1 + x 2 +   3 y ) d A ≈ 1,5 ( 1 + 0 2 +   3.0 ) + ( 1 + 1 2 +   3.0 ) + ( 1 + 0 2 +   3.1,5 ) + ( 1 + 1 2 +   3.1,5 ) ≈ 22,5

Passo 3

Letra b: agora o problema pede para usarmos a regra do ponto médio. A área de cada retângulo continua a mesma, o que muda são os pontos que vamos usar os pontos médios de cada retângulo. Saca só nesse desenho dos pontos:

Os pontos médios são:

1 2 , 3 4 ; 3 2 , 3 4 ; 3 2 , 9 4 ; 1 2 , 9 4

Passo 4

Agora vamos aplicar a regra do ponto médio para a mesma função:

∬ R ( 1 + x 2 +   3 y ) d A ≈ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x - , y - Δ A = f 1 2 , 3 4 Δ A + f 3 2 , 3 4 Δ A + f 3 2 , 9 4 Δ A + f 1 2 , 9 4 Δ A

Aplicando os pontos na função teremos:

= 3 2 1 + 1 2 2 + 3.3 4 + 1 + 3 2 2 + 3.3 4 + 1 + 3 2 2 + 3.9 4 + 1 + 1 2 2 + 3.9 4

= 3 2 1 4 4 + 22 4 + 4 0 4 + 3 2 4 = 4 0,5

Resposta

a ) 22,5

b ) 40,5

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